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关于高中数学矩阵特征值与特征向量的求解
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【六年级 数学论文】摘 要：矩形是线性代数的主要研究内容，而且在众多的领域都有着广泛地应用。在多数《高数》教材中和大部分《线数》教材中关于特征值与特征向量有完全不同的定义。但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。通过关于矩阵特征值与特征向量的求解使我们体会到运用矩阵的特征值理论，使解决问题的方法变得简便巧妙。
关键词：矩阵；特征值；特征向量
在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性，其定义如下：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数λ，存在一个非零向量？孜∈V使得A？孜=λ？孜那么λ称为A的一个特征值，而？孜称为A的属于特征值λ的一个特征向量。
在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A是数域P上的一个n阶方阵，若存在一个数λ∈P以及一个非零n维列向量 使得Ax=λx则称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A关于特征值λ的特征向量。
从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。
一、对于具体的数字矩阵A=（aij）n×n，求A的特征值与特征向量的步骤
第一步由A-λE=0求得A的n个特征值，设λ1，λ2，…λt是A的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，rt，且r1+r2+…+rt=n.
第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E）x=0（i=（1，2，…，t）其基础解系就是A对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为Pi1，Pi2，…Pit（1≤si≤ri）则A对应特征值λ1的全部特征向量为ki1Pt1+ki2Pt2+…+kisiPtsi（ki1，ki2，…，kisi不全为0）
注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。如果求出n阶A的特征多项式如A-λE=（-1）nλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，且其中ai（i=0，1，2，3…，n-1）均为整数，则A得整数特征值（如果存在）应该是常数项a0的因子，因此可以通过对a0的所有整数因子的验证来求出A的特征值（北京大学数学系几何与代数教研小组编写的高等代数教材第二版第一章第9节有理系数多项式的定理12）。
注2：计算特征多项式是难点，方法一，观察特征矩阵的每一行之和，若相等均为a，则将第2列及以后各列都加到第1列，提公因子，再化简，并且a就是其中的一个特征值，（1，1…，1）r为A的属于特征值a的特征向量。方法二，将特征矩阵的两个非零常数（不含参数λ）之一化为零，若有公因子，提出再化简。
由上可知，求特征值与特征向量是比较烦琐的。由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。下面我们换一种思路，讨论矩阵特征值与特征向量是否可以同步求解。
二、矩阵特征值与特征向量的同步求解法
以上给出了一般方阵同步求解特征值和特征向量的方法，下面将方阵加以限制，我们将讨论用不同于上述的方法同步求解可化为对角型方阵的特征值和特征向量。
为了定理的叙述方便，先给出一个定义。
把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：
（1）互换i，j两行，同时互换i，j列；（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘■；（3）第i行k倍加入第j行，同时第j列-k倍加入第i列a4=（-1 1 1 -1）T
从以上看出，可对角化的矩阵用以上方法同步求特征值和特征向量可行，下面把可对角化的矩阵推广到任意n阶方阵，仍用此法同步求特征值和特征向量。
以上主要研究了关于特征值与特征向量的几个问题，首先是对矩阵的特征值与特征向量的求法进行了改进，接着通过分了五种类型来探讨通过特征值与特征向量来解原矩阵的几个类型，最后给出了应用特征值与特征向量来求可逆矩阵T，使T-1AT成若尔当标准形的方法，希望通过本文，能对矩阵的特征值与特征向量有更深层次的理解，能对矩阵理论的研究有一定的帮助。
参考文献：
[1]陈光大.高等代数习题详解[M].华中科技大学出版社，2006.
[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].高等教育出版社，2007.
[3]钱吉林.高等代数解题精粹[M].崇文出版社，2003.
[4]张肇炽，曹锡华.线性代数及应用[M].西安：西北工业大学出版社，1988.
（作者单位 河北省衡水市郑口中学）
编辑 孙玲娟
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