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例谈完全平方公式的一组推广公式在初中数学竞赛中的应用

【数学专业英语论文】摘 要:完全平方公式是初中数学里一个非常重要的公式,也是初中各类数学竞赛关注的热点.关于完全平方公式的文章已有很多,但对完全平方式的推广公式在竞赛中的应用没有涉及,通过对近年来各类初中数学竞赛中出现的相关试题做出分析与总结,谈谈完全平方式的推广公式解初中数学竞赛题中的应用,仅供参考.
关键词:完全平方公式;数学竞赛;推广公式
由两个基本的公式:(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2,我们可以推广得到以下一组公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(1)
(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2=2(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ac)(2)
(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)(3)
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2(4)
由(1)可得:a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)(5)
由(2)-(1)得:a2+b2+c2=(a+b)2+(b-c)2+(a+c)2-(a+b+c)2(6)
由(3)+(1)得:a2+b2+c2=■[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2+(a+b+c)2](7)
由(2)+(3)得:
a2+b2+c2=■[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2+(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2](8)
灵活选用以上公式,可以简单、快速地求解一些竞赛题,下面请看一些例子.
例1.有3个正整数a,b,c,且a>b>c,从中任取2个有3种不同的取法,将每种取法取出的2个数分别作和与作差,得到如下6个数:42,45,64,87,109,151,则a2+b2+c2=( )(2013“希望杯”初二第2试)
A.12532 B.12533
C.12534 D.12535
解析:由于本题是求三个整数的平方和,且题目给出了三个数中任意两个的和与差,满足公式(8),直接利用公式(8)可得:
a2+b2+c2=■[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2+(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
=■[(422+452+642+872+1092+1512)]
=■(1764+2025+4096+7569+11881+22801)=12534
故正确选项为C.
评注:通过以上解析过程可以发现,此解法根本不需要a,b,c为正整数及a>b>c这两个条件,事实上,只要知道这三个数中任意两个的和与差即可求出它们的平方和。出题者可能是考虑到有些学生可能想不到这个公式,因此加上这两个条件,引导学生从三个整数的大小关系入手,结合作和与作差所得的6个整数进行逻辑分析,求出a,b,c的值,然后代入计算得出答案。虽然也能得到正确解答,但是如果能从整体上把握题目特征,利用变形公式求解,就显得简单、明快.
例2.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=49,a+b+c=a3+b3+c3=7,求a,b,c的值.
分析:由已知条件联想到公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+
2ac,然后获得解题思路.
解:∵a2+b2+c2=49,a+b+c=7,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即49=49+2ab+2bc+2ac,
∴ab+bc+ac=0,从而可得:
a2b+a2c=-abc,ab2+b2c=-abc,ac2+bc2=-abc,
7=a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2)-(a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2)
=7×49+3abc,
∴abc=-112.
评注:解答本题的关键在于根据条件联想到公式,然后构造相关代数式求解.把此题稍加改变,就得到下面这道竞赛题:
例3.若实数a,b,c满足a+b+c=2,ab+bc+ac=0,abc=-1,则a3+b3+c3= .(18届“华杯赛”初一)
分析:由已知条件联想到公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,从而求出a2+b2+c2,然后再构造代数式a3+b3+c3求解.
解:∵a+b+c=2,ab+bc+ac=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
∴a2+b2+c2=4,
从而a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2)-(a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2)
由ab+bc+ac=0,abc=-1得:a2b+a2c=1,ab2+b2c=1,ac2+bc2=1
∴a3+b3+c3=2×4-3=5.
评注:解答本题的关键在于根据题目条件想到推广公式(1),构造出所要求的代数式。以上两例本质上是一样的,事实上,稍加分析以上两题解答过程可得
a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2)-(a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2)
=(a+b+c)[(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)]-(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)]+3abc
因此,四个代数式a+b+c,ab+bc+ac,a3+b3+c3,abc,知其中任意三个的值,可以求出另外一个的值。
例4.已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1.(1)求ab+bc+ca的值;(2)求
a4+b4+c4的值(2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛).
解:(1)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得:
ab+bc+ca=■[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-■
(2)a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+b2c2+a2c2)
=1-2[(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)]=1-2×(-■)2=■.
评注:本题考查对推广公式的灵活运用。
通过以上例子可以发现:各类数学竞赛中都比较注重对完全平方公式及其推广公式的考查,所考查的知识点源于课本,又高于课本,并且有些赛题具有相同的思维本质,只是形式上有所差别而已,这就要求在平时学习过程中,不仅要掌握课本上的基本知识,还要养成深入探索与之相关知识的习惯,在解题练习中不能只满足于某道题的答案正确,还要多思考一下题目的本质是什么?关键点在哪?可以怎样拓展?不断总结,积累经验,培养观察、发现、类比、联想能力,形成良好的思维品质。这样学习数学,才会越学越轻松,越学越有趣。
(作者单位 深圳大学数学与计算科学学院2011级研究生)

 
 
 
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