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量子几何与三旋
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一、传统的量子几何
20世纪理论物理学家说得最多的话题是广义相对论和量子理论，而量子几何正是为现代物理学这两大支柱整合服务的。因为空间量子化不仅是许多物理学家曾经的猜测，而且因量子化概念本身的广泛应用已开启了人们的想象。传统的量子引力方案是继承广义相对论经典的表述方式，即是以度规场作为基本场量，但一个连续的背景时空会是量子场论中紫外发散的根源。1971年 r. penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。1986年后，a. ashtekar 等物理学家借鉴了a. sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，即以自对偶自旋联络作为基本场量 ，这组场量通常被称为 ashtekar 变量，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同时 t. jacobson 和 l. smolin 发现 ashtekar 变量的 wilson loop 满足 wheeler-dewitt 方程。在此基础上 c. rovelli 和 smolin 提出把这种 wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案，即loop quantum gravity。1994年 rovelli 和 smolin 研究了 loop quantum gravity 中的面积与体积算符的本征值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。 loop quantum gravity 因此也被称为量子几何 (quantum geometry)。这里它完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种与背景无关的量子引力理论。一些物理学家认为 loop quantum gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。
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